Wolfgang lässt schön grüßen

üben, üben, üben

Groups & Groupies

In der Mathematik ist eine Gruppe eine Menge von Elementen zusammen mit einer Verknüpfung,
die je zwei Elementen der Menge ein drittes Element derselben Menge zuordnet und dabei drei Bedingungen, die Gruppenaxiome, erfüllt:
das Assoziativgesetz,
die Existenz eines neutralen Elements und
die Existenz von inversen Elementen.

Eine der bekanntesten Gruppen ist die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung.
Das mathematische Teilgebiet, das sich der Erforschung der Gruppenstruktur widmet, wird Gruppentheorie genannt. Es ist ein Teilgebiet der Algebra.
Die Anwendungsgebiete der Gruppen, auch außerhalb der Mathematik, machen sie zu einem zentralen Konzept der gegenwärtigen Mathematik.

Gruppen teilen eine fundamentale Verwandtschaft mit der Idee der Symmetrie.
Beispielsweise verkörpert die Symmetriegruppe eines geometrischen Objekts dessen symmetrische Eigenschaften.
Sie besteht aus der Menge derjenigen Abbildungen (z. B. Drehungen), die das Objekt unverändert lassen, und der Hintereinanderausführung solcher Abbildungen als Verknüpfung. Lie-Gruppen sind die Symmetriegruppen des Standardmodells der Teilchenphysik, Punktgruppen werden genutzt, um in der Chemie Symmetrie auf molekularer Ebene zu verstehen, und Poincaré-Gruppen können die Symmetrien ausdrücken, die der speziellen Relativitätstheorie zugrunde liegen.

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